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differential equations solutions अवकलन समीकरणों के हल 2024

differential equations solutions अवकलन समीकरणों के हल 2024.इस दस्तावेज़ में विभिन्न अवकलन समीकरणों के विस्तृत हल हिंदी में प्रस्तुत किए गए हैं। प्रत्येक समीकरण के लिए समाकलन, पुनर्व्यवस्था और रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप का उपयोग करके समाधान प्रदान किया गया है।

differential equations solutions अवकलन समीकरणों के हल 2024

  • अवकलन समीकरण dydx=tan2x\frac{dy}{dx} = \tan^2 x:

     

    dydx=tan2x\frac{dy}{dx} = \tan^2 xदोनों तरफ

    dxdx से गुणा करें:

     

    dy=tan2xdxdy = \tan^2 x \, dx

    yy के लिए समाकलन करें:

     

    y=tan2xdxy = \int \tan^2 x \, dxहम जानते हैं कि

    tan2x=sec2x1\tan^2 x = \sec^2 x – 1:

     

    y=(sec2x1)dxy = \int (\sec^2 x – 1) \, dxइसे समाकलित करें:

     

    y=sec2xdx1dxy = \int \sec^2 x \, dx – \int 1 \, dx

    y=tanxx+Cy = \tan x – x + Cजहाँ

    CC समाकलन स्थिरांक है।

  • अवकलन समीकरण dydx=1x+yxy\frac{dy}{dx} = 1 – x + y – xy:

     

    dydx=1x+yxy\frac{dy}{dx} = 1 – x + y – xyइसे पुनर्व्यवस्थित करें:

     

    dydx=(1x)(1+y)\frac{dy}{dx} = (1 – x)(1 + y)दोनों तरफ विभाजित करें

    1+y1 + y से:

     

    dy1+y=(1x)dx\frac{dy}{1 + y} = (1 – x) dxअब दोनों तरफ समाकलन करें:

     

    dy1+y=(1x)dx\int \frac{dy}{1 + y} = \int (1 – x) \, dx

    ln1+y=xx22+C\ln|1 + y| = x – \frac{x^2}{2} + Cइसे पुनः व्यवस्थित करें:

     

    1+y=exx22+C1 + y = e^{x – \frac{x^2}{2} + C}इसे सरल रूप में लिखें:

     

    y=exx22+C1y = e^{x – \frac{x^2}{2} + C} – 1

  • अवकलन समीकरण ylogydxxdy=0y \log y \, dx – x \, dy = 0:

     

    ylogydx=xdyy \log y \, dx = x \, dyदोनों तरफ विभाजित करें

    xyxy से:

     

    logyxdx=dyy\frac{\log y}{x} \, dx = \frac{dy}{y}अब दोनों तरफ समाकलन करें:

     

    logyxdx=dyy\int \frac{\log y}{x} \, dx = \int \frac{dy}{y}

    logylnx=lny+C\log y \, \ln x = \ln y + Cइसे पुनः व्यवस्थित करें:

     

    lny=logylnx+C\ln y = \frac{\log y}{\ln x} + C

  • अवकलन समीकरण dydx+ytanx=secx\frac{dy}{dx} + y \tan x = \sec x:

    यह एक रैखिक अवकल समीकरण है।

    मानक रूप में लिखें:

     

    dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)जहाँ

    P(x)=tanxP(x) = \tan x और

    Q(x)=secxQ(x) = \sec x

    हम कारक को जान सकते हैं:

     

    μ(x)=eP(x)dx=etanxdx=elnsecx=secx\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int \tan x \, dx} = e^{\ln |\sec x|} = |\sec x|अब इस कारक से गुणा करें:

     

    secxdydx+ysecxtanx=secxsecx|\sec x| \frac{dy}{dx} + y |\sec x| \tan x = |\sec x| \sec x

    ddx(ysecx)=1\frac{d}{dx} (y |\sec x|) = 1दोनों तरफ समाकलन करें:

     

    ysecx=1dxy |\sec x| = \int 1 \, dx

    ysecx=x+Cy \sec x = x + C

    y=(x+C)cosxy = (x + C) \cos x

  • अवकलन समीकरण dydx=ytanx2sinx\frac{dy}{dx} = y \tan x – 2 \sin x:

     

    dydx=ytanx2sinx\frac{dy}{dx} = y \tan x – 2 \sin xइसे पुनर्व्यवस्थित करें:

     

    dydxytanx=2sinx\frac{dy}{dx} – y \tan x = -2 \sin xयह एक रैखिक अवकल समीकरण है।

    मानक रूप में लिखें:

     

    dydx+P(x)y=Q(x)\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)जहाँ

    P(x)=tanxP(x) = -\tan x और

    Q(x)=2sinxQ(x) = -2 \sin x

    हम कारक को जान सकते हैं:

     

    μ(x)=eP(x)dx=etanxdx=elnsecx=cosx\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int -\tan x \, dx} = e^{-\ln |\sec x|} = |\cos x|अब इस कारक से गुणा करें:

     

    cosxdydxycosxtanx=2sinxcosx|\cos x| \frac{dy}{dx} – y |\cos x| \tan x = -2 \sin x |\cos x|

    ddx(ycosx)=2sinxcosx\frac{d}{dx} (y |\cos x|) = -2 \sin x |\cos x|

    ddx(ycosx)=2sinxcosx\frac{d}{dx} (y \cos x) = -2 \sin x \cos x

    ycosx=2sinxcosxdxy \cos x = \int -2 \sin x \cos x \, dx

    ycosx=sin2xdxy \cos x = – \int \sin 2x \, dx

    ycosx=12cos2x+Cy \cos x = \frac{1}{2} \cos 2x + C

    y=cos2x2cosx+Ccosxy = \frac{\cos 2x}{2 \cos x} + \frac{C}{\cos x}

    y=12secxcos2x+Csecxy = \frac{1}{2} \sec x \cos 2x + C \sec x

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