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differential and integral calculusअवकलन और समाकलन के 9 प्रश्नों के हल

differential and integral calculusअवकलन और समाकलन के 9 प्रश्नों के हल|इस दस्तावेज़ में अवकलन और समाकलन के विभिन्न प्रश्नों के विस्तृत हल हिंदी में प्रस्तुत किए गए हैं। प्रत्येक प्रश्न का हल चरणबद्ध तरीके से किया गया है, जिसमें आवश्यक गणितीय सिद्धांतों और विधियों का उपयोग किया गया है।

Table of Contents

differential and integral calculusअवकलन और समाकलन के 9 प्रश्नों के हल

यहाँ दिए गए सभी अवकलन और समाकलन के प्रश्नों के हल हिंदी में प्रस्तुत किए गए हैं:

(i) निम्नलिखित अवकलज ज्ञात कीजिए—

(A)

ddx(tanx)\frac{d}{dx} (\tan x)

:

 

ddx(tanx)=sec2x\frac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x

 

(B)

ddx(x2logex)\frac{d}{dx} (x^2 \log_e x)

:

 

ddx(x2logex)=2xlogex+x\frac{d}{dx} (x^2 \log_e x) = 2x \log_e x + x

 

(C)

ddx(x3)\frac{d}{dx} (x^{-3})

:

 

ddx(x3)=3x4\frac{d}{dx} (x^{-3}) = -3x^{-4}

 

(D)

ddx(xlogx)\frac{d}{dx} (\sqrt{x} \log x)

:

 

ddx(xlogx)=12x1/2logx+1x\frac{d}{dx} (\sqrt{x} \log x) = \frac{1}{2} x^{-1/2} \log x + \frac{1}{\sqrt{x}}

(E)

ddx(5x2/3)\frac{d}{dx} \left(5 x^{2/3}\right)

:

 

ddx(5x2/3)=103x1/3\frac{d}{dx} \left(5 x^{2/3}\right) = \frac{10}{3} x^{-1/3}

 

(F)

ddx(sinxcosx)\frac{d}{dx} (\sin x \cos x)

:

 

ddx(sinxcosx)=cos2xsin2x\frac{d}{dx} (\sin x \cos x) = \cos^2 x – \sin^2 x

 

(G)

ddx(x1x2)\frac{d}{dx} \left(\frac{x – 1}{x^2}\right)

:

 

ddx(x1x2)=1x2+2(1x)x3=13xx3\frac{d}{dx} \left(\frac{x – 1}{x^2}\right) = \frac{-1}{x^2} + \frac{2(1 – x)}{x^3} = \frac{1 – 3x}{x^3}

(H)

ddx(5x2)\frac{d}{dx} (5x^2)

:

 

ddx(5x2)=10x\frac{d}{dx} (5x^2) = 10x

 

(I)

ddx(5ex)\frac{d}{dx} (5e^x)

:

 

ddx(5ex)=5ex\frac{d}{dx} (5e^x) = 5e^x

 

(J)

ddx(x5)\frac{d}{dx} (x^5)

:

 

ddx(x5)=5x4\frac{d}{dx} (x^5) = 5x^4

(K) यदि f(x,y)=log(x2+y2)f(x, y) = \log(x^2 + y^2)

 

 

 

 

, तो fx(x)f_x(x)

 

 

 

 

तथा fy(y)f_y(y)

 

 

 

 

 ज्ञात कीजिए:

दिया गया फलन:

f(x,y)=log(x2+y2)f(x, y) = \log(x^2 + y^2)

 

 

 

 

 

fx(x)f_x(x)

 

 

 

 

 ज्ञात कीजिए:

यह

ff

का

xx

के सापेक्ष आंशिक अवकलज है। इसे हम

fx\frac{\partial f}{\partial x}

से दर्शाते हैं।

fx=xlog(x2+y2)f_x = \frac{\partial}{\partial x} \log(x^2 + y^2)

 

 

 

 

 

चेन नियम का उपयोग करके:

=1x2+y2x(x2+y2)= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x} (x^2 + y^2)

 

 

 

 


=1x2+y22x= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2x

 

 

 

 


=2xx2+y2= \frac{2x}{x^2 + y^2}

 

 

 

 

fy(y)f_y(y)

 

 

 

 

ज्ञात कीजिए:

यह

ff

का

yy

के सापेक्ष आंशिक अवकलज है। इसे हम

fy\frac{\partial f}{\partial y}

से दर्शाते हैं।

fy=ylog(x2+y2)f_y = \frac{\partial}{\partial y} \log(x^2 + y^2)

 

 

 

 

 

चेन नियम का उपयोग करके:

=1x2+y2y(x2+y2)= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y} (x^2 + y^2)

 

 

 

 


=1x2+y22y= \frac{1}{x^2 + y^2} \cdot 2y

 

 

 

 


=2yx2+y2= \frac{2y}{x^2 + y^2}

 

 

 

 

अतः,

fx(x)=2xx2+y2f_x(x) = \frac{2x}{x^2 + y^2}

और

fy(y)=2yx2+y2f_y(y) = \frac{2y}{x^2 + y^2}

हैं।

(L) ddx[3x3+15x2+8x+153x]\frac{d}{dx} \left[\frac{3x^3 + 15x^2 + 8x + 15}{3x}\right]

 

 

 

 

:

 

ddx[3x3+15x2+8x+153x]=ddx[x2+5x+83+5x]\frac{d}{dx} \left[\frac{3x^3 + 15x^2 + 8x + 15}{3x}\right] = \frac{d}{dx} \left[x^2 + 5x + \frac{8}{3} + \frac{5}{x}\right]

=2x+55x2= 2x + 5 – \frac{5}{x^2}

(M)

ddx(logxcosx)\frac{d}{dx} (\log x \cos x)

:

 

ddx(logxcosx)=1xcosxlogxsinx\frac{d}{dx} (\log x \cos x) = \frac{1}{x} \cos x – \log x \sin x

(ii) समाकलन कीजिए— (a) (x5+x2)dx\int (x^5 + x^2) \, dx

 

 

 

 

:

प्रश्न:

(x5+x2)dx\int (x^5 + x^2) \, dx

 

 

 

 

 

हम समाकलन को अलग-अलग करके हल कर सकते हैं:

x5dx+x2dx

 

 

 

 

अब हम प्रत्येक पद का समाकलन करते हैं:

पहला पद:

x5dx=x5+15+1=x66\int x^5 \, dx = \frac{x^{5+1}}{5+1} = \frac{x^6}{6}

 

 

 

 

दूसरा पद:

x2dx=x2+12+1=x33\int x^2 \, dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3}

 

 

 

 

दोनों को जोड़कर:

(x5+x2)dx=x66+x33+C\int (x^5 + x^2) \, dx = \frac{x^6}{6} + \frac{x^3}{3} + C

 

 

 

 

 

अतः,

(x5+x2)dx\int (x^5 + x^2) \, dx

का समाकलन है:

x66+x33+C\frac{x^6}{6} + \frac{x^3}{3} + C

 

 

 

 

 

जहाँ

CC

समाकलन स्थिरांक है।

(B) x2logexdx\int x^2 \log_e x \, dx

 

 

 

 

:

 

इसे भाग द्वारा समाकलन से हल करेंगे: u=logex,dv=x2dx\text{इसे भाग द्वारा समाकलन से हल करेंगे: } u = \log_e x, dv = x^2 dx

 

du=1xdx,v=x33du = \frac{1}{x} dx, v = \frac{x^3}{3}

x2logexdx=logexx33x331xdx\int x^2 \log_e x \, dx = \log_e x \cdot \frac{x^3}{3} – \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} dx

 

=x3logex3x23dx=x3logex3x39+C= \frac{x^3 \log_e x}{3} – \int \frac{x^2}{3} dx = \frac{x^3 \log_e x}{3} – \frac{x^3}{9} + C

 

(C)

6x3(x+5)2dx\int 6x^3 (x + 5)^2 \, dx

:

 

u=x+5,du=dx,v=6x3u = x + 5, \, du = dx, \, v = 6x^3

 

=6x3(x+5)2dx=6x3(x2+10x+25)dx= 6 \int x^3 (x + 5)^2 \, dx = 6 \int x^3 (x^2 + 10x + 25) \, dx

 

=6(x5+10x4+25x3)dx= 6 \int (x^5 + 10x^4 + 25x^3) \, dx

 

=6(x66+10x55+25x44)+C= 6 \left(\frac{x^6}{6} + \frac{10x^5}{5} + \frac{25x^4}{4}\right) + C

 

=x6+2x5+150x44+C= x^6 + 2x^5 + \frac{150x^4}{4} + C

 

(iii) का अवकलन कीजिए:

दिया गया फलन:

 

y=5e2xy = -5e^{2x}अब,

yyका

xxके सापेक्ष अवकलज ज्ञात करते हैं:

 

dydx\frac{dy}{dx}हम जानते हैं कि

ekxe^{kx}का अवकलज

kekxke^{kx}होता है। यहाँ

k=2k = 2 है।

इसलिए,

 

ddx(5e2x)=5ddx(e2x)=52e2x\frac{d}{dx} (-5e^{2x}) = -5 \cdot \frac{d}{dx} (e^{2x}) = -5 \cdot 2e^{2x}तो,

 

ddx(5e2x)=10e2x\frac{d}{dx} (-5e^{2x}) = -10e^{2x}अतः,

5e2x-5e^{2x} का अवकलज

10e2x-10e^{2x} है।

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